6.7 离散时间傅里叶变换DTFT

离散时间傅里叶变换（DTFT）

离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）是分析离散信号频谱的重要工具。它是z变换在单位圆上的特例，也是离散信号频域分析的基础。

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DTFT的定义

正变换

对于离散时间序列 $x[n]$，其DTFT定义为：

$$X(e^{j\Omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$$

其中 $\Omega =\omega T$ 为数字频率（归一化频率），单位为弧度/样本（rad/sample）。

反变换（IDTFT）

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\Omega })e^{j\Omega n}d\Omega$$

积分在一个 $2\pi$ 周期内进行（通常取 $-\pi$ 到 $\pi$ 或 $0$ 到 $2\pi$）。

DTFT与z变换的关系

DTFT是z变换在单位圆上的取值：

$$X(e^{j\Omega })=X(z){|}_{z=e^{j\Omega }}$$

存在条件： DTFT存在的充分条件为序列绝对可和：

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$$

等价于z变换的ROC包含单位圆（$|z|=1$）。

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DTFT的周期性

周期为 $2\pi$

$$X(e^{j(\Omega +2\pi )})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j(\Omega +2\pi )n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}{e}^{-j2\pi n}=X(e^{j\Omega })$$

由于 $e^{-j2\pi n}=1$（$n$ 为整数），DTFT以 $2\pi$ 为周期。

物理意义

• 离散时间信号的频谱是周期的，周期为 $2\pi$（数字频率）
• 这是由于s平面到z平面的映射的多值性导致的：$z=e^{sT}$，$\omega$ 的变动对应 $\Omega$ 的周期变化
• 实际中通常只观察 $\Omega \in [-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,2\pi ]$ 的主值区间

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频谱特性

幅度谱与相位谱

$$X(e^{j\Omega })=|X(e^{j\Omega })|e^{j\phi (\Omega )}$$

• 幅度谱 $|X(e^{j\Omega })|$：各频率分量的幅度随 $\Omega$ 的变化
• 相位谱 $\phi (\Omega )$：各频率分量的相位随 $\Omega$ 的变化

对于实序列 $x[n]$，幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：

$$|X(e^{j\Omega })|=|X(e^{-j\Omega })|,\phi (\Omega )=-\phi (-\Omega )$$

实部与虚部

$$X(e^{j\Omega })=X_R(e^{j\Omega })+j{X}_I(e^{j\Omega })$$

对于实序列：

• $X_R(e^{j\Omega })$ 为偶函数
• $X_I(e^{j\Omega })$ 为奇函数

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典型序列的DTFT

单位冲激序列

$$x[n]=\delta [n]\leftrightarrow X(e^{j\Omega })=1$$

频谱为常数（全频带均匀分布）。

常数序列

$$x[n]=1\leftrightarrow X(e^{j\Omega })=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -2\pi k)$$

时域无限长常数序列的频谱为周期冲激串。

复指数序列

$$x[n]=e^{j{\Omega }_{0}n}\leftrightarrow X(e^{j\Omega })=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -{\Omega }_0-2\pi k)$$

正弦序列

$$x[n]=\cos ({\Omega }_{0}n)\leftrightarrow X(e^{j\Omega })=\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }[\delta (\Omega -{\Omega }_0-2\pi k)+\delta (\Omega +{\Omega }_0-2\pi k)]$$

单位阶跃序列

$$u[n]\leftrightarrow U(e^{j\Omega })=\frac{1}{1-e^{-j\Omega }}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -2\pi k)$$

矩形窗序列

$$R_N[n]=\{\begin{array}{llc}1,& 0\le n\le N-1/0,& \text{otherwise}\end{array}$$ $$R_N(e^{j\Omega })=\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{-j\Omega n}=\frac{1-e^{-j\Omega N}}{1-e^{-j\Omega }}=e^{-j\Omega (N-1)/2}\frac{\sin (\Omega N/2)}{\sin (\Omega /2)}$$

• 幅度谱为 $\left|\frac{\sin (\Omega N/2)}{\sin (\Omega /2)}\right|$，类似于连续信号的 $\text{Sa}$ 函数

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DTFT的性质

性质	时域序列	DTFT
线性	$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]$	$a{X}_1(e^{j\Omega })+b{X}_2(e^{j\Omega })$
时移	$x[n-n_0]$	$e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega })$
频移	$e^{j{\Omega }_{0}n}x[n]$	$X(e^{j(\Omega -{\Omega }_0)})$
时间反转	$x[-n]$	$X(e^{-j\Omega })$
卷积	$x[n]\ast y[n]$	$X(e^{j\Omega })Y(e^{j\Omega })$
调制	$x[n]y[n]$	$\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\theta })Y(e^{j(\Omega -\theta )})d\theta$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$X^{\ast }(e^{-j\Omega })$
时域差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-j\Omega })X(e^{j\Omega })$
时域累加	${\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$	$\frac{1}{1-e^{-j\Omega }}X(e^{j\Omega })+\pi X(e^{j0})\sum \delta (\Omega -2\pi k)$
频域微分	$nx[n]$	$j\frac{dX(e^{j\Omega })}{d\Omega }$
帕萨瓦尔定理	$\sum \Vert x[n]{\Vert }^2$	$\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }\Vert X(e^{j\Omega }){\Vert }^{2}d\Omega$

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DTFT与连续时间傅里叶变换（CTFT）的关系

采样导致的频谱关系

对连续信号 $x(t)$ 以周期 $T$ 采样得到 $x[n]=x(nT)$：

$$X(e^{j\Omega })=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{X}_c\left(j\frac{\Omega }{T}-j\frac{2\pi k}{T}\right)$$

其中 $X_c(j\omega )$ 为连续信号 $x(t)$ 的傅里叶变换。

关键结论：

• 采样信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓
• 延拓周期为 $\Omega =2\pi$（对应模拟频率 ${\omega }_s=2\pi /T$）
• 若 $x(t)$ 为带限信号且 ${\omega }_s>2{\omega }_{\max }$，频谱不发生混叠（奈奎斯特采样定理）

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Parseval定理（帕萨瓦尔定理）

DTFT形式下的帕萨瓦尔定理建立了时域能量与频域能量的关系：

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }|X(e^{j\Omega }){|}^{2}d\Omega$$

• 左边：时域总能量
• 右边：频域总能量（$|X(e^{j\Omega }){|}^2/(2\pi )$ 为能量密度谱）

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DTFT的应用

• 频谱分析：分析离散信号的频率成分
• 滤波器设计：在频域设计数字滤波器的频率响应
• 系统分析：分析LTI系统的频率响应特性
• 调制与解调：在通信系统中分析数字调制信号
• 信号压缩：在变换域处理信号（如MP3编码）

链接到

• 上一个知识点：6.6 z变换解差分方程
• 下一个知识点：6.8 离散系统系统函数
• 相关知识点：7.4 常用典型序列