6.6 z变换解差分方程

z变换解差分方程

z变换将时域的差分方程转换为z域的代数方程，通过位移性质自动处理初始条件，是分析离散LTI系统的有力工具。

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基本思想

对于N阶线性常系数差分方程（LCCDE）：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{m=0}^M{b}_{m}x[n-m]$$

1. 对方程两边取单边z变换，利用位移性质引入初始条件
2. 将差分方程转化为关于 $Y(z)$ 和 $X(z)$ 的代数方程
3. 解出 $Y(z)$，进行逆z变换得到 $y[n]$

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单边z变换的位移特性（核心工具）

右移（延迟）特性：

$$\mathcal{Z}\{y[n-1]\}=z^{-1}Y(z)+y[-1]$$ $$\mathcal{Z}\{y[n-2]\}=z^{-2}Y(z)+y[-2]+y[-1]z^{-1}$$

一般形式：

$$\mathcal{Z}\{y[n-k]\}=z^{-k}Y(z)+\sum _{i=0}^{k-1}y[i-k]z^{-i},k>0$$

对于因果系统（$y[n]=0,n<0$），初始条件为 $y[-1],y[-2],\dots$，简化形式为：

$$\mathcal{Z}\{y[n-k]\}=z^{-k}Y(z)+\sum _{i=1}^{k}y[-i]z^{-(k-i)}$$

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求解步骤

步骤一：对方程两边取单边z变换

对差分方程每一项取z变换，代入初始条件 $y[-1],y[-2],\dots ,y[-N]$。

步骤二：整理代数方程

将所有含 $Y(z)$ 的项移到左侧，$X(z)$ 项和初始条件项移到右侧：

$$A(z)Y(z)=B(z)X(z)+C(z)$$

其中 $C(z)$ 是由初始条件产生的多项式。

步骤三：解出 $Y(z)$

$$Y(z)=\frac{B(z)}{A(z)}X(z)+\frac{C(z)}{A(z)}$$

步骤四：逆z变换

对 $Y(z)$ 取逆z变换（常用部分分式法），得到 $y[n]$。

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零输入响应与零状态响应

零输入响应（Zero-Input Response）

由初始条件（系统储能）决定的响应，与输入 $x[n]$ 无关：

$$Y_{zi}(z)=\frac{C(z)}{A(z)}$$

$y_{zi}[n]={\mathcal{Z}}^{-1}\{Y_{zi}(z)\}$，取决于系统的自然频率（特征根）和初始储能。

零状态响应（Zero-State Response）

由输入信号 $x[n]$ 决定的响应，假设初始条件为零：

$$Y_{zs}(z)=\frac{B(z)}{A(z)}X(z)=H(z)X(z)$$

$y_{zs}[n]={\mathcal{Z}}^{-1}\{Y_{zs}(z)\}$，其中 $H(z)=B(z)/A(z)$ 为系统函数。

完全响应

$$y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$$

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示例

例1：一阶差分方程

求解差分方程 $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$，其中 $x[n]=u[n]$，$y[-1]=1$。

解：

步骤1： 取单边z变换

$$Y(z)-\frac{1}{2}\left[z^{-1}Y(z)+y[-1]\right]=X(z)$$

代入 $y[-1]=1$：

$$Y(z)-\frac{1}{2}{z}^{-1}Y(z)-\frac{1}{2}=X(z)$$

步骤2： 整理

$$Y(z)(1-\frac{1}{2}{z}^{-1})=X(z)+\frac{1}{2}$$

步骤3： 代入 $X(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$

$$Y(z)=\frac{X(z)+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}=\frac{\frac{z}{z-1}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}=\frac{z}{(z-1)(1-\frac{1}{2}{z}^{-1})}+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}$$

化简为 $z$ 的有理函数：

$$Y(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-\frac{1}{2})}+\frac{\frac{1}{2}z}{z-\frac{1}{2}}$$

步骤4： 部分分式展开求逆变换

第一项（零状态）：$\frac{z^2}{(z-1)(z-\frac{1}{2})}$

$$\frac{Y_{zs}(z)}{z}=\frac{z}{(z-1)(z-\frac{1}{2})}=\frac{2}{z-1}-\frac{1}{z-\frac{1}{2}}$$ $$Y_{zs}(z)=\frac{2z}{z-1}-\frac{z}{z-\frac{1}{2}}$$ $$y_{zs}[n]=(2-(\frac{1}{2}{)}^n)u[n]$$

第二项（零输入）：$\frac{\frac{1}{2}z}{z-\frac{1}{2}}$

$$y_{zi}[n]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{)}^{n}u[n]=(\frac{1}{2}{)}^{n+1}u[n]$$

完全响应：

$$y[n]=y_{zs}[n]+y_{zi}[n]=\left[2-(\frac{1}{2}{)}^n\right]u[n]+(\frac{1}{2}{)}^{n+1}u[n]=\left[2-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{)}^n\right]u[n]$$

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应用要点

系统函数与差分方程的关系

从差分方程可直接写出系统函数 $H(z)$：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}Y(z)=\sum _{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}X(z)$$ $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}}=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+\cdots +b_M{z}^{-M}}{a_0+a_1{z}^{-1}+\cdots +a_N{z}^{-N}}$$

稳定性判断

系统稳定的充要条件是 $H(z)$ 的所有极点都在单位圆内（对于因果系统），或ROC包含单位圆（对于一般系统）。

利用双边z变换

对于非因果系统或涉及双边序列的问题，可使用双边z变换求解差分方程，此时无初始条件项，但需根据ROC判断序列的因果性。

链接到

• 上一个知识点：6.5 z平面与s平面的映射关系
• 下一个知识点：6.7 离散时间傅里叶变换DTFT
• 相关知识点：7.8 零输入零状态响应离散、4.6 用拉普拉斯变换分析电路