7.3 差分方程的经典求解

差分方程的经典求解

求解差分方程的方法有多种，时域经典法是将全响应分解为齐次解（自然响应）与特解（强迫响应）之和。

差分方程的标准形式

给定 $N$ 阶线性常系数差分方程：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$

全解形式为：

$$y[n]=y_h[n]+y_p[n]$$

其中 $y_h[n]$ 为齐次解（对应齐次方程的通解），$y_p[n]$ 为特解（满足非齐次方程的一个特解）。

齐次解的求解

特征方程

齐次方程（令激励 $x[n]=0$）为：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=0$$

设解的形式为 $y_h[n]=C{\lambda }^n$，代入齐次方程得到特征方程：

$$a_0{\lambda }^N+a_1{\lambda }^{N-1}+\cdots +a_{N-1}\lambda +a_N=0$$

求解得到 $N$ 个特征根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N$。

特征根形式与对应齐次解

单实根

若特征根 $\lambda$ 为单实根，则对应的齐次解项为：

$$C{\lambda }^n$$

$r$ 重实根

若特征根 $\lambda$ 为 $r$ 重根，则对应的齐次解项为：

$$(C_0+C_{1}n+C_2{n}^2+\cdots +C_{r-1}{n}^{r-1}){\lambda }^n$$

即从 $C{\lambda }^n$ 扩展为 $n$ 的多项式乘以 ${\lambda }^n$。

共轭复根

若特征根为一对共轭复根 ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm j\beta =r{e}^{\pm j\theta }$，则对应的齐次解项为：

$$r^n(C_1\cos (\theta n)+C_2\sin (\theta n))$$

或等价形式：

$$A{r}^n\cos (\theta n+\varphi )$$

其中 $r=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$，$\theta =\arctan (\beta /\alpha )$。

齐次解的组合

将所有特征根对应的齐次解项线性组合，得到完整的齐次解形式：

$$y_h[n]=\sum _{i=1}^N{C}_i{\lambda }_i^n(\text{无重根情形})$$

带待定系数 $C_i$，由边界条件确定。

特解的求解

特解 $y_p[n]$ 的函数形式由激励 $x[n]$ 的形式决定。将特解代入原差分方程，通过比较系数确定特解中的待定参数。

常见激励对应的特解形式

激励 $x[n]$	特解形式 $y_p[n]$
常数 $A$	$B$
$n^p$（$p$ 次多项式）	$B_0{n}^p+B_1{n}^{p-1}+\cdots +B_p$
$a^n$（$a$ 不是特征根）	$B{a}^n$
$a^n$（$a$ 是 $r$ 重特征根）	$B{n}^r{a}^n$
$\cos ({\omega }_{0}n)$ 或 $\sin ({\omega }_{0}n)$	$B_1\cos ({\omega }_{0}n)+B_2\sin ({\omega }_{0}n)$
$a^n\cos ({\omega }_{0}n)$	$a^n(B_1\cos ({\omega }_{0}n)+B_2\sin ({\omega }_{0}n))$

特解待定系数的确定

将设定的特解形式代入差分方程，根据方程两边对应项系数相等建立方程组，即可求解出特解中的待定参数。

示例：若 $x[n]=2^n$ 且 $2$ 不是特征根，设 $y_p[n]=B\cdot 2^n$，代入方程后解出 $B$。

全解与边界条件

全解为齐次解与特解之和：

$$y[n]=y_h[n]+y_p[n]$$

初始条件与边界条件的确定

待定系数 $C_i$ 需要通过系统的初始条件来确定。对于 $N$ 阶系统，需要 $N$ 个初始条件。

常用方法：

• 已知 $y[0],y[1],\dots ,y[N-1]$ 直接代入
• 或利用系统在 $n<0$ 时的历史状态递推得到

将 $n=0,1,\dots ,N-1$ 分别代入全解表达式，得到关于 $C_i$ 的 $N$ 个线性方程，联立求解。

迭代法

迭代法是差分方程最基本的求解方法，适合计算机数值计算。

将差分方程改写为递归形式：

$$y[n]=\frac{1}{a_0}\left[\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]\right]$$

从已知的初始状态开始，逐步递推计算出所有 $y[n]$。

优点：简单直接，适合编程实现。 缺点：不易得到闭式解析表达式，难以观察系统的本质特性。

经典法求解步骤总结

1. 根据系统列写差分方程
2. 写出特征方程，求解特征根，得到齐次解形式（含待定系数）
3. 根据激励信号的形式设定特解，代入差分方程确定特解参数
4. 全解 = 齐次解 + 特解
5. 利用初始条件（边界条件）确定齐次解中的待定系数
6. 得到系统的完全响应 $y[n]$

链接到

• 上一个知识点：7.2 卷积和
• 下一个知识点：7.4 常用典型序列
• 相关知识点：2.6 经典微分方程求解