7.2 卷积和

卷积和

定义

卷积和（Convolution Sum）是离散时间 LTI 系统时域分析的核心运算。两个序列 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷积和定义为：

$$y[n]=x[n]\ast h[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$$

其中 $\ast$ 表示卷积运算符。运算结果仍是一个序列。

定义的解释

• $k$ 为求和虚变量
• 对每个固定的 $n$，$h[n-k]$ 是 $h[k]$ 的反褶（$k\to -k$）加平移（$k\to k-n$）
• 卷积和的值是 $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 对所有 $k$ 的乘积之和

卷积和与零状态响应

卷积和最重要的应用是求离散 LTI 系统的零状态响应。

若系统的单位样值响应为 $h[n]$，则系统对任意输入 $x[n]$ 的零状态响应为：

$$y_{zs}[n]=x[n]\ast h[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$$

这一结论源于 LTI 系统的线性时不变性质：

1. 将输入表示为加权移位的单位样值信号之和：

   $$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\delta [n-k]$$

2. LTI 系统对 $\delta [n-k]$ 的响应为 $h[n-k]$

3. 由线性时不变性，系统对 $x[n]$ 的响应为：

   $$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$$

图解步骤

卷积和的计算可以看作以下四个步骤，对每个 $n$ 执行一次：

第一步：翻褶（反转）

将 $h[k]$ 以 $k=0$ 为轴翻转得到 $h[-k]$。

第二步：平移

将 $h[-k]$ 向右（$n>0$）或向左（$n<0$）平移 $n$ 个单位，得到 $h[n-k]$。

第三步：相乘

对每个 $k$，计算 $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 的乘积。

第四步：求和

将所有 $k$ 点上的乘积值求和，得到当前 $n$ 的卷积结果 $y[n]$。

图示理解

对于有限长序列，可以借助表格或图形直观理解。在每个 $n$ 值下，$x[k]$ 保持不动，$h[k]$ 反转后滑动到相应位置，重叠部分的乘积之和即为 $y[n]$。

计算方法

直接计算法

直接按定义对每个 $n$ 求和。适合计算机实现。

图解法

通过手动绘图完成翻褶、平移、相乘、求和四步。适合简单序列或教学理解。

列表法（竖式法）

将两个序列排成表格，进行类似乘法的逐项相乘和错位相加。

1. 将 $x[n]$ 和 $h[n]$ 按索引排列
2. 对每个 $h[m]$ 乘以整个 $x[n]$ 并移位 $m$
3. 将所有结果逐项相加

分段法

根据序列的分段定义区域，将求和区间划分为不同的 $n$ 范围，分别计算。适合有限长序列的解析计算。

卷积和的性质

交换律

$$x[n]\ast h[n]=h[n]\ast x[n]$$

从系统角度看，输入与系统的角色可以互换，结果不变。

分配律

$$x[n]\ast (h_1[n]+h_2[n])=x[n]\ast h_1[n]+x[n]\ast h_2[n]$$

从系统角度看，并联系统的总响应等于各子系统响应之和。

结合律

$$x[n]\ast (h_1[n]\ast h_2[n])=(x[n]\ast h_1[n])\ast h_2[n]$$

从系统角度看，串联（级联）系统的总单位样值响应等于各子系统单位样值响应的卷积。

与单位样值信号的卷积

序列 $x[n]$ 与 $\delta [n]$ 的卷积等于其本身：

$$x[n]\ast \delta [n]=x[n]$$

移位的单位样值信号：

$$x[n]\ast \delta [n-m]=x[n-m]$$

即卷积 $\delta [n-m]$ 相当于将序列平移 $m$ 个单位。

这实际上就是任意序列的分解表示：

$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\delta [n-k]=x[n]\ast \delta [n]$$

与单位阶跃序列的卷积

$$x[n]\ast u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$$

即卷积 $u[n]$ 等价于对序列进行累加和运算。

差分与卷积的关系

若 $y[n]=x[n]\ast h[n]$，则：

$$\nabla y[n]=\nabla x[n]\ast h[n]=x[n]\ast \nabla h[n]$$

即差分的运算可以在卷积中任选一个序列进行。

序列的时移

若 $y[n]=x[n]\ast h[n]$，则：

$$x[n-m]\ast h[n]=y[n-m]$$ $$x[n]\ast h[n-m]=y[n-m]$$

即输入或系统的延时导致输出等量延时。

卷积和的长度关系

若 $x[n]$ 的长度为 $L_x$，$h[n]$ 的长度为 $L_h$，则卷积和 $y[n]=x[n]\ast h[n]$ 的长度为：

$$L_y=L_x+L_h-1$$

这一关系对判断卷积结果的范围非常有用。

与连续卷积积分的对应

连续时间	离散时间
卷积积分 $y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$	卷积和 $y[n]=x[n]\ast h[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$
零状态响应 $y_{zs}(t)=x(t)\ast h(t)$	零状态响应 $y_{zs}[n]=x[n]\ast h[n]$
交换律、分配律、结合律	交换律、分配律、结合律
与 $\delta (t)$ 卷积不变	与 $\delta [n]$ 卷积不变

链接到

• 上一个知识点：7.1 单位样值响应
• 下一个知识点：7.3 差分方程的经典求解
• 相关知识点：