7.4 常用典型序列

常用典型序列

单位样值信号（Unit Sample）

单位样值信号 $\delta [n]$ 是离散时间系统分析中最基本的信号，也称为单位脉冲序列或离散冲激信号。

$$\delta [n]=\{\begin{array}{llc}1,& n=0/0,& n\ne 0\end{array}$$

性质

• 筛选性：$x[n]\delta [n]=x[0]\delta [n]$，$x[n]\delta [n-k]=x[k]\delta [n-k]$
• 采样性：$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\delta [n-k]=x[k]$
• 任意序列可表示为加权移位的单位样值信号之和： $$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\delta [n-k]$$ 该式是卷积和的基础。

与连续冲激信号 $\delta (t)$ 的区别

• $\delta [n]$ 在 $n=0$ 处取值为 1，是确切的数值；而 $\delta (t)$ 是广义函数，在 $t=0$ 处”无穷大”
• $\delta [n]$ 的能量为 1，而 $\delta (t)$ 的能量在数学上没有明确定义

单位阶跃序列（Unit Step）

$$u[n]=\{\begin{array}{llc}1,& n\ge 0/0,& n<0\end{array}$$

与单位样值信号的关系

单位阶跃序列是单位样值信号的累加和：

$$u[n]=\sum _{k=-\infty }^n\delta [k]$$

反过来，单位阶跃序列的一阶后向差分得到单位样值信号：

$$\delta [n]=u[n]-u[n-1]$$

性质

• 单边性：$u[n]$ 在 $n<0$ 时为零，常用于截取序列的右边部分
• 与 $u(t)$ 不同，$u[n]$ 在 $n=0$ 处有确切定义（取值为 1），不存在跳变点的定义争议

矩形序列

矩形序列是在有限区间内取值为 1 的序列：

$$R_N[n]=\{\begin{array}{llc}1,& 0\le n\le N-1/0,& \text{其他}\end{array}$$

与阶跃序列的关系

$$R_N[n]=u[n]-u[n-N]$$

即矩形序列可以看作两个移位的阶跃序列之差。

斜变序列

斜变序列（Ramp Sequence）在 $n\ge 0$ 时线性增长：

$$x[n]=n\cdot u[n]$$

斜变序列是阶跃序列的累加和：

$$n\cdot u[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}u[k]$$

实指数序列

实指数序列的形式为 $a^{n}u[n]$（单边）或 $a^n$（双边），其中 $a$ 为实数。

$$x[n]=a^{n}u[n]=\{\begin{array}{llc}{a}^n,& n\ge 0/0,& n<0\end{array}$$

分类

• $|a|>1$：序列发散，幅度随 $n$ 增大而增长
• $|a|<1$：序列收敛，幅度随 $n$ 增大而衰减
• $a=1$：退化为单位阶跃序列 $u[n]$
• $a<0$：序列正负交替，呈振荡衰减（$|a|<1$）或振荡增长（$|a|>1$）

应用

指数序列是离散系统分析中的重要特征函数，也是 $Z$ 变换的基本构建单元。

正弦序列

正弦序列的表达式为：

$$x[n]=\sin ({\omega }_{0}n)u[n]\text{或}x[n]=\cos ({\omega }_{0}n)u[n]$$

其中 ${\omega }_0$ 为数字角频率，单位为弧度。

周期性条件

连续正弦信号 $\sin ({\omega }_{0}t)$ 对所有 ${\omega }_0$ 均为周期信号。但离散正弦序列 $\sin ({\omega }_{0}n)$ 的周期需要满足：

$$\sin [{\omega }_0(n+N)]=\sin ({\omega }_{0}n)\Rightarrow {\omega }_{0}N=2\pi k(k\in \mathbb{Z})$$

因此 $N=\frac{2\pi k}{{\omega }_0}$，$N$ 必须是正整数。即当且仅当 $2\pi /{\omega }_0$ 为有理数时，正弦序列才是周期序列。

示例：

• $\sin (0.2\pi n)$：$2\pi /0.2\pi =10$（有理数），周期 $N=10$
• $\sin (0.5n)$：$2\pi /0.5=4\pi$（无理数），非周期

与复指数序列的关系

由欧拉公式：

$$e^{j{\omega }_{0}n}=\cos ({\omega }_{0}n)+j\sin ({\omega }_{0}n)$$

正弦序列可视为复指数序列的虚部或实部：

$$\sin ({\omega }_{0}n)=\frac{e^{j{\omega }_{0}n}-e^{-j{\omega }_{0}n}}{2j},\cos ({\omega }_{0}n)=\frac{e^{j{\omega }_{0}n}+e^{-j{\omega }_{0}n}}{2}$$

复指数序列

复指数序列的一般形式为：

$$x[n]=e^{(\sigma +j{\omega }_0)n}=e^{\sigma n}{e}^{j{\omega }_{0}n}=e^{\sigma n}(\cos {\omega }_{0}n+j\sin {\omega }_{0}n)$$

特殊情形

• $\sigma =0$：$x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$，等幅振荡的复指数序列（幅度恒为 1）
• ${\omega }_0=0$：$x[n]=e^{\sigma n}$，退化为实指数序列
• $\sigma <0$：衰减振荡的复指数序列
• $\sigma >0$：增长振荡的复指数序列

重要性质

• 复指数序列对 LTI 系统是特征函数，即系统对 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 的响应为 $H(e^{j{\omega }_0})e^{j{\omega }_{0}n}$
• 任意序列可表示为不同频率复指数序列的线性组合（离散时间傅里叶变换 DTFT 的基础）

链接到

• 上一个知识点：7.3 差分方程的经典求解
• 下一个知识点：7.5 离散信号的运算
• 相关知识点：1.7 系统分类与LTI系统、6.7 离散时间傅里叶变换DTFT