离散时间信号与序列

基本概念

离散时间信号（Discrete-Time Signal）也称序列，是只在离散时间点上定义的信号。与连续时间信号不同，离散时间信号的自变量仅取整数值，记为 $x [n]$ 或 $x (n)$ ，其中 $n$ 为整数。

用数学公式直接表示序列的值：

x [n] = a^{n} u [n] = {a^{n}, n \geq 0/0, n < 0

将有限个序列值列举出来，用箭头 $↓$ 标记 $n = 0$ 的位置：

x [n] = {\dots, 1, 2, 3, ↓ 4, 5, 6, \dots}

其中 $↓$ 下方的 4 对应 $x [0] = 4$ 。

在二维坐标系中，以横轴 $n$ （整数）为自变量，纵轴为序列值 $x [n]$ ，用垂直线段（或点）表示每个样值。图形表示最直观地反映序列的变化规律。

有限长序列：只在 $N_{1} \leq n \leq N_{2}$ 内有非零值，区间外为零
无限长序列：在 $n \to \pm \infty$ 范围内均有定义
- 右边序列： $n < N_{0}$ 时 $x [n] = 0$
- 左边序列： $n > N_{0}$ 时 $x [n] = 0$
- 双边序列：向正负两个方向无限延伸

若存在正整数 $N$ 使得对所有 $n$ 满足：

x [n + N] = x [n], \forall n \in Z

则 $x [n]$ 为周期序列， $N$ 为基本周期。最小的正周期称为最小基本周期。

重要区别：连续正弦信号 $cos (ω t)$ 一定是周期的，但离散正弦序列 $cos (ω_{0} n)$ 仅在 $2 π / ω_{0}$ 为有理数时才是周期的。

离散序列 $x [n]$ 的能量定义为：

E = n = - \infty \sum \infty ∣ x [n] ∣^{2}

平均功率定义为：

P = N \to \infty lim \frac{1}{2 N + 1} n = - N \sum N ∣ x [n] ∣^{2}