单位样值响应

单位样值响应（Unit Sample Response） $h [n]$ 是离散时间LTI系统在零初始条件下，由单位样值信号 $δ [n]$ 激励所产生的零状态响应。它是离散系统时域分析的核心概念，完全描述了系统的时域特性。

定义

单位样值信号 $δ [n]$ 定义为：

δ [n] = {1, n = 0/0, n \neq = 0

系统对 $δ [n]$ 的响应就是单位样值响应 $h [n]$ ：

δ [n] ⟶ 离散 LTI 系统 ⟶ h [n]

将 $δ [n]$ 作为输入代入差分方程，从 $n = 0$ 开始递推计算。由于 $δ [n]$ 仅在 $n = 0$ 处非零，递推过程相对简单。

将单位样值响应转化为零输入响应问题。由于 $δ [n]$ 在 $n = 0$ 时刻产生一个初始条件，对于 $n > 0$ 时输入为零，因此 $h [n]$ 对 $n > 0$ 相当于零输入响应：

求解时，先通过迭代得到 $h [0], h [1], \dots$ 等起始值（利用 $δ [n]$ 的激励效果），然后求解齐次差分方程，用上述起始值确定待定系数。

利用Z变换法求解最为简洁。系统的传递函数 $H (z)$ 的逆Z变换即为单位样值响应：

h [n] = Z^{- 1} {H (z)}

其中 $H (z) = \frac{Y ( z )}{X ( z )}$ 是系统函数。

离散LTI系统对任意输入 $x [n]$ 的零状态响应 $y_{zs} [n]$ 等于输入序列与单位样值响应的卷积和：

y_{zs} [n] = x [n] * h [n] = k = - \infty \sum \infty x [k] h [n - k]

这一关系是离散时间系统时域分析的基础，它将系统对任意输入的响应归结为系统单位样值响应的加权叠加。

通过单位样值响应可以判断离散系统的特性：

离散LTI系统是因果的，当且仅当：

h [n] = 0, n < 0

即响应不能出现在激励之前。

离散LTI系统是稳定的（BIBO稳定），当且仅当单位样值响应绝对可和：

n = - \infty \sum \infty ∣ h [n] ∣ < \infty

即 $h [n]$ 是绝对可和序列。