梅森公式

从信号流图求系统函数

梅森公式（Mason’s Formula）提供了从信号流图直接求解系统函数的通用方法，无需逐步化简流图。

公式定义

$H (s) = \frac{Y ( s )}{F ( s )} = \frac{1}{Δ} \sum_{k} P_{k} Δ_{k}$

其中：

$H (s)$ ：系统函数（增益）
$P_{k}$ ：第 $k$ 条前向通路的增益
$Δ$ ：特征式（流图的行列式）
$Δ_{k}$ ：第 $k$ 条前向通路对应的余子式

特征式 $Δ$ 的展开

$Δ = 1 - \sum L_{a} + \sum L_{b} L_{c} - \sum L_{d} L_{e} L_{f} + \dots$

项	含义
$\sum L_{a}$	所有不同回路的增益之和
$\sum L_{b} L_{c}$	所有两两不接触回路的增益乘积之和
$\sum L_{d} L_{e} L_{f}$	所有三个互不接触回路的增益乘积之和
$\dots$	以此类推，更高阶不接触回路组合

符号规则

奇数组不接触回路取负号（ $-$ ），偶数组取正号（ $+$ ）。
即： $Δ = 1 - (单回路和) + (两两不接触回路积和) - (三个不接触回路积和) + \dots$

余子式 $Δ_{k}$

$Δ_{k}$ 是从 $Δ$ 中除去与第 $k$ 条前向通路相接触的所有回路后的剩余部分。
若第 $k$ 条前向通路与所有回路都接触，则 $Δ_{k} = 1$ 。
若第 $k$ 条前向通路不与任何回路接触，则 $Δ_{k} = Δ$ 。

前向通路

前向通路是从源点到阱点，沿支路方向不重复经过任何节点的路径。
前向通路增益 $P_{k}$ 是通路上所有支路增益的乘积。
一条信号流图可能有多条前向通路，需要逐一求出。

不接触回路

两个回路之间没有公共节点时，称为不接触回路。
计算 $Δ$ 时，必须正确识别所有的不接触回路组合。
不接触回路可能有多组，需将所有组合的增益乘积相加。

计算步骤

列出所有前向通路：找出从输入到输出的所有路径，计算增益 $P_{k}$ 。
列出所有回路：找出流图中所有闭合回路，计算增益 $L_{a}$ 。
找出不接触回路：确定哪些回路互不接触。
计算 $Δ$ ：按 $Δ = 1 - \sum L_{a} + \sum L_{b} L_{c} - \dots$ 展开。
计算 $Δ_{k}$ ：对每条前向通路，除去接触回路后计算余子式。
代入公式： $H = \frac{1}{Δ} \sum P_{k} Δ_{k}$ 。

示例

对于具有一条前向通路 $P_{1}$ 和两个回路 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ （不接触）的流图：

$Δ = 1 - (L_{1} + L_{2}) + L_{1} L_{2}$
若 $L_{1}$ 与 $P_{1}$ 接触， $L_{2}$ 不与 $P_{1}$ 接触，则 $Δ_{1} = 1 - L_{2}$
$H = \frac{P _{1} ( 1 - L _{2} )}{1 - ( L _{1} + L _{2} ) + L _{1} L _{2}}$

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