9.5 连续系统状态方程的求解

连续系统状态方程的求解

时域法

零输入响应与零状态响应

状态方程 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bf}$ 的全解：

$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{Bf}(\tau )d\tau$

• 零输入响应：$e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)$，仅由初始状态引起。
• 零状态响应：${\int }_{t_0}^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{Bf}(\tau )d\tau$，仅由输入引起。

输出响应

$\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Df}(t)$ $=\mathbf{C}{e}^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+\mathbf{C}{\int }_{t_0}^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{Bf}(\tau )d\tau +\mathbf{Df}(t)$

状态转移矩阵 $\mathbf{\Phi }(t)=e^{\mathbf{A}t}$

定义

状态转移矩阵 $e^{\mathbf{A}t}$ 描述了系统在没有输入时状态随时间的演化： $\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)$

性质

性质	表达式
初始值	$e^{\mathbf{A}\cdot 0}=\mathbf{I}$
组合性	$e^{\mathbf{A}{t}_1}{e}^{\mathbf{A}{t}_2}=e^{\mathbf{A}(t_1+t_2)}$
可逆性	$(e^{\mathbf{A}t}{)}^{-1}=e^{-\mathbf{A}t}$
微分	$\frac{d}{dt}{e}^{\mathbf{A}t}=\mathbf{A}{e}^{\mathbf{A}t}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}$

计算方法

• 拉普拉斯变换法：$e^{\mathbf{A}t}={\mathcal{L}}^{-1}\{(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}\}$
• 级数展开法：$e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{I}+\mathbf{A}t+\frac{1}{2!}{\mathbf{A}}^2{t}^2+\cdots$
• 对角化法：若 $\mathbf{A}=\mathbf{P\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$，则 $e^{\mathbf{A}t}=\mathbf{P}{e}^{\mathbf{\Lambda }t}{\mathbf{P}}^{-1}$

拉普拉斯变换法（变换域法）

对方程 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bf}$ 两边取拉普拉斯变换：

$\mathbf{X}(s)=(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{x}(0)+(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{BF}(s)$

其中 $(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}$ 称为预解矩阵（resolvent matrix）。

求解步骤

1. 计算预解矩阵 $(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}$。
2. 代入初始状态 $\mathbf{x}(0)$ 和输入 $\mathbf{F}(s)$。
3. 得到 $\mathbf{X}(s)$ 后进行拉普拉斯逆变换求得 $\mathbf{x}(t)$。

系统函数矩阵

定义

从输入 $\mathbf{f}(t)$ 到输出 $\mathbf{y}(t)$ 的传输特性：

$\mathbf{H}(s)=\mathbf{C}(\mathbf{sI}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}$

性质

• $\mathbf{H}(s)$ 是 $p\times m$ 矩阵，元素 $H_{ij}(s)$ 表示第 $j$ 个输入到第 $i$ 个输出的转移函数。
• 系统函数矩阵与状态变量选择无关，是系统的固有特性。
• $\mathbf{H}(s)$ 的极点即为 $\mathbf{A}$ 矩阵的特征值。

链接到

• 上一个知识点：9.4 连续系统状态方程的建立
• 下一个知识点：无（本章最后一个知识点）