9.4 连续系统状态方程的建立

连续系统状态方程的建立

由电路建立状态方程

基本思路

• 选择独立储能元件的特征变量作为状态变量：
  • 电容电压 $u_C$（与电容储能 $W_C=\frac{1}{2}C{u}_C^2$ 相关）
  • 电感电流 $i_L$（与电感储能 $W_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2$ 相关）
• 利用 KCL 和 KVL 列写电路方程，整理为一阶微分方程组。

一般步骤

1. 确定电路阶数（独立电容和独立电感的个数）。
2. 选择 $u_C$ 和 $i_L$ 为状态变量。
3. 列写电容的电流关系 $i_C=C\frac{d{u}_C}{dt}$ 和电感的电压关系 $u_L=L\frac{d{i}_L}{dt}$。
4. 用状态变量和输入表示电容电流和电感电压。
5. 整理为标准形式 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}+\mathbf{Bf}$。

由微分方程/系统函数建立状态方程

系统描述形式

给定系统函数或微分方程，可通过多种实现得到状态方程。

对于 $N$ 阶系统：

$H(s)=\frac{b_N{s}^N+b_{N-1}{s}^{N-1}+\cdots +b_0}{s^N+a_{N-1}{s}^{N-1}+\cdots +a_0}$

直接型实现（可控规范型）

• 选取积分器输出为状态变量 $x_1,x_2,\dots ,x_N$。
• $\mathbf{A}$ 矩阵为友矩阵形式： 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 / 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 / \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots / 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 / -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{N-1} \end{bmatrix}$$

级联型实现

• 将 $H(s)$ 分解为多个一阶或二阶系统的乘积。
• 每个子系统独立建立状态方程后组合。
• 适合系统的模块化分析。

并联型实现（可观规范型）

• 将 $H(s)$ 展开为部分分式之和。
• 每个部分对应一个一阶子系统。
• 各子系统状态方程之间独立（$\mathbf{A}$ 为对角矩阵）。

标准形式

$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bf}(t)$ $\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Df}(t)$

• $\mathbf{A}$：$n\times n$ 系统矩阵
• $\mathbf{B}$：$n\times m$ 输入矩阵
• $\mathbf{C}$：$p\times n$ 输出矩阵
• $\mathbf{D}$：$p\times m$ 直接传输矩阵（当 $m<n$ 时 $\mathbf{D}=0$）

链接到

• 上一个知识点：9.3 离散系统状态方程的求解
• 下一个知识点：9.5 连续系统状态方程的求解
• 相关知识点：4.6 用拉普拉斯变换分析电路