9.1 状态变量分析概述

状态变量分析概述

状态变量分析（State Variable Analysis）是系统分析的一种现代方法，它通过引入状态变量的概念，将高阶微分（差分）方程转化为一阶微分（差分）方程组来描述系统的动态行为。与传统的输入输出描述相比，状态变量分析能够揭示系统内部的动态特性，适用于多输入多输出（MIMO）和非线性系统的分析。

状态变量的基本概念

定义

状态变量是描述系统动态行为的一组数目最少的变量。若已知 $t=t_0$ 时刻的状态变量值和 $t\ge t_0$ 时刻的输入，则可唯一确定 $t\ge t_0$ 时刻系统的全部行为。

状态变量选择的不唯一性

状态变量的选择不是唯一的。对于一个给定的系统，可以有不同的状态变量选择方式，每种选择都可以进行状态方程分析和获得系统的转移函数，但系统的转移函数是唯一的（与状态变量选择无关）。

状态方程与输出方程

状态变量分析法包含两组方程：

状态方程

描述状态变量 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 随时间变化的规律。对于连续时间系统，状态方程是一阶微分方程组：

$$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bf}(t)$$

其中 $\mathbf{x}(t)$ 是状态向量（$n\times 1$），$\mathbf{f}(t)$ 是输入向量，$\mathbf{A}$ 是系统矩阵（$n\times n$），$\mathbf{B}$ 是输入矩阵（$n\times p$）。

输出方程

描述系统输出与状态变量和输入的关系：

$$\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Df}(t)$$

其中 $\mathbf{y}(t)$ 是输出向量，$\mathbf{C}$ 是输出矩阵，$\mathbf{D}$ 是直接传输矩阵。

建立状态方程的方法

由电路图建立

对于电路系统，通常选择电容电压 $v_C$ 和电感电流 $i_L$ 作为状态变量。根据基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）列写方程，整理成标准状态方程形式。

由微分方程建立

对于由输入输出微分方程描述的系统，可以选择系统输出及其各阶导数作为状态变量，将高阶微分方程转化为一阶微分方程组。

状态方程求解

连续时间系统的状态方程求解公式为：

$$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{Bf}(\tau )d\tau$$

其中 $e^{\mathbf{A}t}$ 称为状态转移矩阵，可以通过拉普拉斯变换求得：

$$e^{\mathbf{A}t}={\mathcal{L}}^{-1}\{(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\}$$

状态变量分析的优势

• 揭示系统内部行为：状态变量不仅可以描述输入输出关系，还能描述系统内部各点的动态特性
• 适用于MIMO系统：状态方程和输出方程可以自然地处理多输入多输出系统
• 适用于非线性时变系统：状态变量方法可以推广到非线性和时变系统
• 便于计算机分析：一阶微分方程组适合数值求解和计算机仿真
• 可控性和可观性分析：状态变量法可以分析系统的可控性和可观性，这是现代控制理论的基础

链接到

• 上一个知识点：无（本章第一个知识点）
• 下一个知识点：9.2 离散系统状态方程的建立