离散系统状态方程的建立

由差分方程建立

对于系统 $y (n) + a_{0} y (n - 1) = b_{0} f (n)$ ：

对于 $y (n) + a_{N - 1} y (n - 1) + \dots + a_{0} y (n - N) = b_{N} f (n) + b_{N - 1} f (n - 1) + \dots + b_{0} f (n - N)$ ：

状态变量选为延迟单元的输出：

$x (n + 1) = Ax (n) + Bf (n)$ $y (n) = Cx (n) + Df (n)$

给定离散系统函数： $H (z) = \frac{b _{N} z ^{N} + b _{N - 1} z ^{N - 1} + \dots + b _{0}}{z ^{N} + a _{N - 1} z ^{N - 1} + \dots + a _{0}}$

$A$ 为友矩阵形式，与连续系统类似但系数取负： $0 & 1 & 0 & \cdots & 0 / 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 / \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots / 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 / -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{N-1} \end{bmatrix}$$$
$B = [00 \dots 01]^{T}$
$C = [b_{0} - a_{0} b_{N} b_{1} - a_{1} b_{N} \dots b_{N - 1} - a_{N - 1} b_{N}]$
$D = b_{N}$

实现形式	$A$ 矩阵特点	优点	缺点
直接型	友矩阵（带状）	结构简单，变量少	灵敏度高，误差大
级联型	分块对角	灵敏度低，稳定性好	结构稍复杂
并联型	对角/分块对角	灵敏度最低，并行度高	需部分分式展开