2.6 经典微分方程求解

经典微分方程求解

微分方程的建立

对于连续时间线性时不变（LTI）系统，其输入-输出关系通常由常系数线性微分方程描述。建立微分方程的依据：

1. 电路元件特性

   • 电阻：$v(t)=R\cdot i(t)$
   • 电容：$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$，或 $v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$
   • 电感：$v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$，或 $i(t)=\frac{1}{L}\int v(t)dt$

2. 基尔霍夫定律

   • KCL（基尔霍夫电流定律）：流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和
   • KVL（基尔霍夫电压定律）：闭合回路中电压降的代数和为零

通过上述定律，可将电路中的电压电流关系表示为关于响应（输出电压）与激励（输入电压）的 $n$ 阶线性微分方程，其一般形式为：

$$a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=b_m\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}x(t)}{d{t}^{m-1}}+\cdots +b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_{0}x(t)$$

其中 $y(t)$ 为系统响应，$x(t)$ 为激励信号。

经典法求解

经典法直接求解微分方程，其核心思想是将全解分解为齐次解（自然响应）与特解（强迫响应）之和：

$$y(t)=y_h(t)+y_p(t)$$

齐次解

齐次解是齐次方程（令激励 $x(t)=0$）的解，由系统的特征方程决定。

1. 写出齐次方程： $a_n\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=0$

2. 写出特征方程（将 $\frac{d^k}{d{t}^k}$ 替换为 ${\lambda }^k$）： $a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0$

3. 求解特征根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，根据特征根的类型确定齐次解的形式：

（1）单实根

若特征根 $\lambda$ 为单实根，对应齐次解项为： $C{e}^{\lambda t}$

（2）共轭复根

若特征根为共轭复根 ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm j\beta$，对应齐次解项为： $e^{\alpha t}\left(C_1\cos \beta t+C_2\sin \beta t\right)$ 或等价形式： $A{e}^{\alpha t}\cos (\beta t+\theta )$

（3）$r$ 重实根

若特征根 $\lambda$ 为 $r$ 重根，对应齐次解项为： $\left(C_{r-1}{t}^{r-1}+C_{r-2}{t}^{r-2}+\cdots +C_{1}t+C_0\right)e^{\lambda t}$

特解

特解是满足非齐次方程的一个特解，其函数形式由激励信号 $x(t)$ 的形式决定。将特解代入原方程可求得待定系数。

常见激励信号对应的特解形式：

激励 $x(t)$	特解形式 $y_p(t)$
常数 $A$	$B$
$t^p$	$B_0{t}^p+B_1{t}^{p-1}+\cdots +B_p$
$e^{\alpha t}$（$\alpha$ 不是特征根）	$B{e}^{\alpha t}$
$e^{\alpha t}$（$\alpha$ 是 $r$ 重特征根）	$B{t}^r{e}^{\alpha t}$
$\cos \beta t$ 或 $\sin \beta t$	$B_1\cos \beta t+B_2\sin \beta t$
$e^{\alpha t}\cos \beta t$	$e^{\alpha t}\left(B_1\cos \beta t+B_2\sin \beta t\right)$

全解

全解为齐次解与特解之和： $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$

齐次解中的待定系数 $C_1,C_2,\dots$ 根据初始条件（或边界条件）确定。对于 $n$ 阶系统，需要 $n$ 个初始条件（通常为 $y(0),y^{\prime }(0),\dots ,y^{(n-1)}(0)$）来唯一确定全解。

求解步骤总结

1. 根据电路列写微分方程
2. 求特征根，写出齐次解形式（含待定系数）
3. 根据激励形式设定特解，代入原方程求待定系数，得到特解
4. 全解 = 齐次解 + 特解
5. 利用初始条件确定齐次解中的待定系数
6. 得到系统的完全响应

链接到

• 上一个知识点：2.5 线性系统时域模拟
• 下一个知识点：2.7 跳变求法与换路定理
• 相关知识点：4.6 用拉普拉斯变换分析电路、7.3 差分方程的经典求解