2.1 冲激响应与阶跃响应

冲激响应与阶跃响应

冲激响应和阶跃响应是线性时不变（LTI）系统的两种基本响应，它们完全描述了系统的时域特性。LTI系统对任意输入的响应可以通过冲激响应与输入的卷积求得。

冲激响应

定义

冲激响应 $h(t)$ 是LTI系统在零初始条件下，由单位冲激信号 $\delta (t)$ 激励所产生的零状态响应：

$$\delta (t)⟶\text{LTI系统}⟶h(t)$$

求解方法

方法一：直接求解微分方程

将输入 $f(t)=\delta (t)$ 代入系统的微分方程，利用冲激函数匹配法确定 $t=0$ 时刻的跳变值，然后求解齐次方程得到 $h(t)$ 的表达式。

方法二：变换域方法

系统的传递函数 $H(s)$ 的拉普拉斯逆变换即为冲激响应：

$$h(t)={\mathcal{L}}^{-1}\{H(s)\}$$

物理意义

冲激响应反映了系统本身的固有特性，与输入信号无关。对于因果系统，当 $t<0$ 时 $h(t)=0$。

与卷积的关系

LTI系统对任意输入 $f(t)$ 的零状态响应 $y_{zs}(t)$ 等于输入信号与冲激响应的卷积：

$$y_{zs}(t)=f(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

阶跃响应

定义

阶跃响应 $g(t)$ 是LTI系统在零初始条件下，由单位阶跃信号 $u(t)$ 激励所产生的零状态响应：

$$u(t)⟶\text{LTI系统}⟶g(t)$$

与冲激响应的关系

由于阶跃信号与冲激信号互为微分积分关系，LTI系统的阶跃响应与冲激响应之间也满足同样的关系：

$$g(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau =h(t)\ast u(t)$$ $$h(t)=\frac{dg(t)}{dt}$$

这一关系是LTI系统线性时不变性质的直接推论。

响应特性的分析

通过冲激响应和阶跃响应可以判断系统的多种特性：

• 因果性：若 $t<0$ 时 $h(t)=0$，则系统是因果的
• 稳定性：若 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty$，则系统是稳定的
• 记忆性：若 $h(t)=K\delta (t)$（$K$ 为常数），则系统是无记忆的

链接到

• 上一个知识点：无（本章第一个知识点）
• 下一个知识点：2.2 卷积性质
• 相关知识点：5.5 系统物理可实现性、7.1 单位样值响应