2.2 卷积性质

卷积性质

基本代数性质

卷积运算满足以下三个基本代数律，这些性质源于积分运算的线性性。

交换律

卷积运算的顺序可以交换： $f_1(t)\ast f_2(t)=f_2(t)\ast f_1(t)$

证明： $f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$ 令 $u=t-\tau$，则 $\tau =t-u$，$d\tau =-du$： $=-{\int }_{\infty }^{-\infty }{f}_1(t-u)f_2(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_2(u)f_1(t-u)du=f_2(t)\ast f_1(t)$

意义：在进行卷积计算时，可以选择将较简单的信号作为翻褶对象，简化计算。

分配律

卷积对加法满足分配律： $f_1(t)\ast [f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)\ast f_2(t)+f_1(t)\ast f_3(t)$

证明直接由积分线性性得到。

意义：并联系统的总冲激响应等于各子系统冲激响应之和。

结合律

卷积运算满足结合律： $[f_1(t)\ast f_2(t)]\ast f_3(t)=f_1(t)\ast [f_2(t)\ast f_3(t)]$

意义：级联（串联）系统的总冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积。

与冲激函数的卷积

冲激函数是卷积运算中的单位元：

$f(t)\ast \delta (t)=f(t)$

证明： $f(t)\ast \delta (t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =f(t)$

推广形式：

1. 延时冲激： $f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$ 信号与延时冲激卷积，相当于信号本身发生相同延时。

2. 冲激导数： $f(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)$ 信号与冲激的一阶导数卷积，得到信号的导数。

3. 高阶冲激导数： $f(t)\ast {\delta }^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$

4. 冲激函数与系统冲激响应： $h(t)\ast \delta (t)=h(t)$

与阶跃函数的卷积

$f(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$

信号与阶跃函数卷积，相当于对信号进行积分运算。

时移性质

若 $f_1(t)\ast f_2(t)=f(t)$，则： $f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=f(t-t_1-t_2)$

即两个信号分别延时后的卷积，等于原卷积结果延时两个延时量之和。

证明： 令 $f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)$，利用延时冲激的卷积性质： $f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=[f_1(t)\ast \delta (t-t_1)]\ast [f_2(t)\ast \delta (t-t_2)]$ $=f_1(t)\ast f_2(t)\ast \delta (t-t_1-t_2)=f(t-t_1-t_2)$

微分性质

若 $f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$，则： $\frac{df(t)}{dt}=\frac{d{f}_1(t)}{dt}\ast f_2(t)=f_1(t)\ast \frac{d{f}_2(t)}{dt}$

证明： $\frac{d}{dt}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$ $={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )\frac{\partial }{\partial t}{f}_2(t-\tau )d\tau =f_1(t)\ast \frac{d{f}_2(t)}{dt}$

由交换律可得另一个等价形式。

推广： $f^{(n)}(t)=f_1^{(k)}(t)\ast f_2^{(n-k)}(t)(0\le k\le n)$

积分性质

若 $f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$，则： ${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau =\left[{\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )d\tau \right]\ast f_2(t)=f_1(t)\ast \left[{\int }_{-\infty }^t{f}_2(\tau )d\tau \right]$

即卷积的积分等于其中一个信号的积分与另一个信号的卷积。

微分积分性质

综合微分与积分性质：

$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)=\frac{d{f}_1(t)}{dt}\ast {\int }_{-\infty }^t{f}_2(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )d\tau \ast \frac{d{f}_2(t)}{dt}$

应用：利用微分积分性质，可以将一个信号的微分与另一个信号的积分进行卷积，简化分段信号的卷积计算。例如，一个矩形脉冲可以表示为阶跃信号的微分，而阶跃信号与任意信号的卷积就是该信号的积分。

卷积的展宽性质

若 $f_1(t)$ 的非零区间长度为 $L_1$，$f_2(t)$ 的非零区间长度为 $L_2$，则 $f_1(t)\ast f_2(t)$ 的非零区间长度为 $L_1+L_2$。

更精确地，若 $f_1(t)$ 在 $[a_1,b_1]$ 外为零，$f_2(t)$ 在 $[a_2,b_2]$ 外为零，则卷积在 $[a_1+a_2,b_1+b_2]$ 外为零。

性质总结表

性质	公式
交换律	$f_1\ast f_2=f_2\ast f_1$
分配律	$f_1\ast (f_2+f_3)=f_1\ast f_2+f_1\ast f_3$
结合律	$(f_1\ast f_2)\ast f_3=f_1\ast (f_2\ast f_3)$
单位元	$f\ast \delta =f$
时移	$f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=f(t-t_1-t_2)$
微分	$(f_1\ast f_2{)}^{\prime }=f_1^{\prime }\ast f_2=f_1\ast f_2^{\prime }$
积分	$\int (f_1\ast f_2)=(\int f_1)\ast f_2=f_1\ast (\int f_2)$

链接到

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