2.3 卷积概念与图解

卷积概念与图解

卷积的定义

数学定义

两个连续时间信号 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 的卷积运算定义为：

$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$

其中 $\tau$ 为积分哑变量，$t$ 为参变量。卷积运算的结果 $f(t)$ 是一个关于 $t$ 的新信号。

另一种等价形式

由于卷积满足交换律，卷积的定义也可写为：

$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )d\tau$

两种形式在数学上是等价的。

物理意义

卷积的物理意义在于：将输入信号分解为一系列冲激函数的加权和，每个冲激单独作用于系统产生冲激响应，再将这些响应叠加。

具体来说，对于 LTI 系统，任意输入 $x(t)$ 可以表示为冲激函数的加权叠加： $x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$

由于系统是线性和时不变的：

• 每个 $\delta (t-\tau )$ 产生响应 $h(t-\tau )$
• 幅度 $x(\tau )$ 为加权系数
• 叠加所有响应得到零状态响应

因此，系统对任意输入 $x(t)$ 的零状态响应为： $y_{zs}(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

这深刻揭示了 LTI 系统的本质：系统的输出由输入与冲激响应的卷积唯一确定。

图解步骤

卷积的图解计算是理解卷积物理含义的直观方法，分以下四个步骤：

第一步：翻褶（折叠）

将其中一个信号 $f_2(\tau )$ 关于纵轴翻转，得到 $f_2(-\tau )$： $f_2(\tau )⟶f_2(-\tau )$

翻褶相当于将信号沿 $\tau$ 轴左右镜像，或者说将时间轴反向。

第二步：平移

将翻褶后的信号沿 $\tau$ 轴平移 $t$ 个单位，得到 $f_2(t-\tau )$： $f_2(-\tau )⟶f_2(t-\tau )$

• 当 $t>0$ 时，$f_2(-\tau )$ 向右平移
• 当 $t<0$ 时，$f_2(-\tau )$ 向左平移

$t$ 是一个参变量，不同的 $t$ 值对应不同的平移量。

第三步：相乘

将 $f_1(\tau )$ 与 $f_2(t-\tau )$ 逐点相乘，得到乘积函数： $g(\tau )=f_1(\tau )\cdot f_2(t-\tau )$

相乘的结果是一个关于 $\tau$ 的函数，在每一 $\tau$ 处取两个信号值的乘积。

第四步：积分

计算乘积函数 $g(\tau )$ 在 $\tau$ 轴上的积分： $f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$

这个积分值就是对应平移量 $t$ 的卷积结果。对于不同的 $t$，重复步骤2-4，得到完整的卷积结果 $f(t)$。

卷积上下限的确定

在计算卷积时，积分的上下限取决于两个信号的非零区间。

有限长信号的卷积

若 $f_1(t)$ 非零区间为 $[a_1,b_1]$，$f_2(t)$ 非零区间为 $[a_2,b_2]$，则：

• $f_1(\tau )$ 在 $\tau \in [a_1,b_1]$ 内非零
• $f_2(t-\tau )$ 满足 $a_2\le t-\tau \le b_2$，即 $\tau \in [t-b_2,t-a_2]$
• 积分区间为上述两个区间的交集

卷积结果 $f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$ 的非零区间为 $[a_1+a_2,b_1+b_2]$，这称为卷积的展宽性质。

常见情况

• 右边信号：若 $f_1(t)=0(t<0)$，$f_2(t)=0(t<0)$，则积分下限为 $0$： $f(t)={\int }_0^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau (t\ge 0)$

• 双边信号：需根据 $t$ 的范围分段确定积分限，通常需要分段讨论

卷积的计算方法

1. 图解法：上述四个步骤，适合矩形脉冲、三角波等分段常数信号
2. 公式法：直接代入解析表达式计算积分，适合指数型、正弦型等解析信号
3. 表格法：对于离散时间信号使用，连续时间领域较少使用
4. 数值计算：利用计算机进行数值积分近似

常见信号的卷积

• 两个矩形脉冲的卷积是三角波（脉宽相加）
• 指数信号与阶跃信号的卷积：$e^{-at}u(t)\ast u(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})u(t)$
• 两个指数信号 $e^{-a_{1}t}u(t)$ 与 $e^{-a_{2}t}u(t)$ 的卷积（$a_1\ne a_2$）： $e^{-a_{1}t}u(t)\ast e^{-a_{2}t}u(t)=\frac{e^{-a_{1}t}-e^{-a_{2}t}}{a_2-a_1}u(t)$

链接到

• 上一个知识点：2.2 卷积性质
• 下一个知识点：2.4 卷积求全响应
• 相关知识点：7.2 卷积和