4.10 系统因果性与稳定性

系统因果性与稳定性

因果性和稳定性是系统分析中两个最基本也是最重的特性。通过系统函数 $H(s)$ 的收敛域（ROC）和极点分布，可以方便地判断系统的因果性与稳定性。

因果系统

定义

若系统在任意时刻 $t_0$ 的输出仅取决于 $t_0$ 及 $t_0$ 之前的输入，而与 $t_0$ 之后的输入无关，则称系统为因果系统（Causal System）。

数学表达：因果系统的冲激响应满足：

$$h(t)=0,t<0$$

因果系统的判别

根据系统函数 $H(s)$ 的收敛域，因果系统具有以下特征：

1. 收敛域为右半平面：因果系统的收敛域是最右边极点以右的半平面，即 $\text{Re}[s]>{\sigma }_0$
2. $H(s)$ 为有理函数时：分子的阶次不超过分母的阶次（即 $m\le n$）
3. 拉普拉斯变换形式：若 $H(s)$ 可展开为 $s$ 的负幂级数形式，则为因果系统

因果性验证

时域验证：

$$h(t)=0,\forall t<0$$

$s$ 域验证：

• 若 $H(s)$ 是有理函数，且收敛域为 $\text{Re}[s]>{\sigma }_{\max }$（最右侧极点的右半平面），则系统因果
• 注意：收敛域为右半平面是因果系统的必要但不充分条件（严格来说，若 $H(s)$ 是 $s$ 的有理函数，则收敛域为最右侧极点的右半平面等价于因果性）

稳定系统

定义

若系统对任意有界输入产生有界输出（BIBO 稳定性），则称系统稳定。BIBO 稳定性的充要条件为：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty$$

即冲激响应 $h(t)$ 绝对可积。

稳定系统的 $s$ 域判别

稳定系统的收敛域必须包含虚轴（$\text{Re}[s]=0$）。这是因为：

• 当 $s=j\omega$ 时，系统函数退化为频率响应 $H(j\omega )$
• 稳定的系统必须有定义良好的频率响应

与极点分布的关系

对于因果稳定系统，$H(s)$ 的极点分布满足：

所有极点必须在左半平面（$\text{Re}[p]<0$）

这一结论非常重要，以下是详细分析：

极点位置	对应 $h(t)$ 模式	稳定性
左半平面（$\text{Re}[p]<0$）	指数衰减或衰减振荡	稳定
虚轴单极点（$\text{Re}[p]=0$）	常数或等幅振荡	临界稳定（不稳定）
虚轴重极点	增长项（$t$ 乘以等幅振荡）	不稳定
右半平面（$\text{Re}[p]>0$）	指数增长或增长振荡	不稳定

关于虚轴上极点的重要说明

部分同学会误以为虚轴上极点的系统是稳定的（因为信号没有发散），但从 BIBO 稳定性的严格定义来看：

• 若系统在虚轴上有极点（如 $H(s)=1/s$），当输入为单位阶跃信号时，输出将无限增长（系统呈现累积效应）
• 因此，虚轴上的极点使系统不满足 BIBO 稳定性，系统为临界稳定或不稳定
• 在工程上，有时将虚轴上有单极点、无重极点的系统称为”边界稳定”，但它们不满足严格的 BIBO 稳定性定义

霍尔维茨多项式

定义

若多项式 $D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_0$ 的所有根均位于 $s$ 平面的左半平面（$\text{Re}[s]<0$），则称 $D(s)$ 为霍尔维茨多项式（Hurwitz Polynomial）。

霍尔维茨判别准则

霍尔维茨多项式具有以下性质：

1. 所有系数同号：$D(s)$ 的所有系数 $a_k$ 必须均为正数（或均为负数）
2. 不缺项：$D(s)$ 不能缺少任何 $s^k$ 项（从 $s^n$ 到 $s^0$ 项系数均非零）
3. 霍尔维茨行列式：所有霍尔维茨子行列式均大于零

系统函数的分母

因果稳定系统的分母多项式 $D(s)$ 必须是霍尔维茨多项式。对于低通系统，$H(s)$ 的分母即为霍尔维茨多项式。

低通滤波器的系统函数分母多为霍尔维茨多项式的典型例子，如巴特沃斯、切比雪夫滤波器的分母多项式均满足霍尔维茨准则。

因果稳定系统的判定流程

1. 检查因果性：确认系统的收敛域为右半平面（$h(t)=0,t<0$）
2. 检查稳定性：所有极点位于左半平面
3. 综合判断：因果稳定系统的收敛域为 $\text{Re}[s]>{\sigma }_0$ 且 ${\sigma }_0<0$（虚轴在收敛域内）

系统类型总结

系统类型	因果性	稳定性	$H(s)$ 极点位置	收敛域
因果稳定	是	是	均在左半平面	$\text{Re}[s]>{\sigma }_0,{\sigma }_0<0$
因果不稳定	是	否	存在右半平面/虚轴极点	$\text{Re}[s]>{\sigma }_0,{\sigma }_0\ge 0$
非因果稳定	否	是	均在左半平面（双边信号）	带状区域包含虚轴
非因果不稳定	否	否	—	—

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

对于稳定系统，$H(s)$ 在虚轴上收敛，因此系统的频率响应可以通过 $s=j\omega$ 代入得到：

$$H(j\omega )=H(s){|}_{s=j\omega }$$

这一关系对系统频域分析至关重要。若系统不稳定（虚轴不在收敛域内），则 $H(j\omega )$ 不存在或发散。

工程意义

1. 反馈系统设计：反馈系统的稳定性至关重要，不稳定的反馈系统会产生自激振荡
2. 滤波器设计：所有实际使用的滤波器都必须是稳定的
3. 控制系统：稳定是控制系统正常工作的前提，常用极点配置、PID 调节等方法保证稳定性
4. 信号处理：数字滤波器设计中需保证所有极点位于单位圆内（$z$ 域），对应 $s$ 域左半平面

链接到

• 上一个知识点：4.9 零极点分布与频响特性
• 下一个知识点：4.11 滤波器类型
• 相关知识点：6.5 z平面与s平面的映射关系、7.7 离散时间系统与差分方程