7.8 零输入零状态响应离散

零输入零状态响应（离散）

对于离散时间 LTI 系统，完全响应可以按照物理成因分解为零输入响应和零状态响应之和：

$$y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$$

这种分解体现了线性系统的核心特质：系统内部储能引起的响应与外部激励引起的响应可以分开计算，再线性叠加。

零输入响应（Zero-Input Response）

零输入响应 $y_{zi}[n]$ 是指系统在外加激励为零（$x[n]=0$）时，仅由系统的初始储能（起始条件）引起的响应。

基本特征

• 满足齐次差分方程： $$\sum _{k=0}^N{a}_k{y}_{zi}[n-k]=0$$
• 数学形式为齐次解形式： $$y_{zi}[n]=\sum _{i=1}^N{C}_{zi,i}{\lambda }_i^n(\text{无重根})$$
• 系数由系统在 $n<0$ 时的初始状态确定，而非 $n\ge 0$ 的边界条件
• 从物理意义上看，零输入响应是系统在没有外部输入时，释放其内部初始储能的过程

求解步骤

1. 令激励 $x[n]=0$，得到齐次差分方程
2. 写出特征方程，求解特征根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N$
3. 写出齐次解形式（含待定系数 $C_{zi,i}$）
4. 利用系统在 $n<0$ 时的初始条件确定系数
5. 得到零输入响应 $y_{zi}[n]$

关键点：零输入响应使用的初始条件是 $n<0$ 时的 $y[n]$ 值，即系统的历史状态。这些值反映了系统的初始储能情况。

注意事项

• 对于因果系统，输入激励通常从 $n=0$ 开始，因此 $n<0$ 时的 $y[n]$ 反映了系统的初始状态
• 零输入响应不依赖于激励的形式，只取决于系统的特征根和初始条件
• 稳定系统的零输入响应随 $n$ 增大而衰减，最终趋于零

零状态响应（Zero-State Response）

零状态响应 $y_{zs}[n]$ 是指系统初始储能为零（$y[n]=0,n<0$）时，仅由外加激励 $x[n]$ 引起的响应。

基本特征

• 满足非齐次差分方程： $$\sum _{k=0}^N{a}_k{y}_{zs}[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$$
• 初始条件：$n<0$ 时 $y[n]=0$（零初始状态）
• 数学形式为齐次解 + 特解： $$y_{zs}[n]=y_{zs,h}[n]+y_p[n]$$ 其中 $y_{zs,h}[n]$ 的系数由零初始条件确定，$y_p[n]$ 由激励形式确定

求解步骤

1. 置初始状态为零：$y[n]=0,n<0$
2. 写出差分方程的全解形式（齐次解形式 + 特解形式）
3. 通过迭代法确定 $n\ge 0$ 的边界条件（如 $y[0],y[1],\dots$）
4. 将边界条件代入全解，确定齐次解中的待定系数
5. 得到零状态响应 $y_{zs}[n]$

边界条件的确定

零状态响应中齐次系数的确定需要使用 $n\ge 0$ 的 $y[n]$ 值。由于零状态要求 $n<0$ 的 $y[n]=0$，可以利用差分方程的递推关系从 $n=0$ 开始逐步算出 $y[0],y[1],\dots$。

迭代确定初始过程：

• 已知 $n<0$ 时 $y[n]=0,x[n]=0$
• 将 $n=0$ 代入差分方程，利用 $y[-1],y[-2],\dots$ 均为 0 求出 $y[0]$
• 将 $n=1$ 代入，利用已求出的 $y[0]$ 等求出 $y[1]$
• 重复直到得到足够数量的边界条件

完全响应

完全响应为零输入响应与零状态响应之和：

$$y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$$

两种分解方式的对比

维度	零输入响应 $y_{zi}[n]$	零状态响应 $y_{zs}[n]$
成因	初始储能	外部激励
激励 $x[n]$ 是否为 0	是（$x[n]=0$）	否
初始状态是否为 0	否	是（$n<0$ 时 $y[n]=0$）
解的形式	齐次解（无特解）	齐次解 + 特解
系数确定条件	$n<0$ 的 $y[n]$	$n\ge 0$ 的 $y[n]$（递推得到）

因果系统特殊情况

对于因果系统，响应不会发生在激励之前，因此 $n<0$ 时 $y[n]=0$。此时：

• 零输入响应也为 0（因为没有初始储能的历史信息）
• 全响应 = 零状态响应

与连续域零输入零状态响应的对应

连续时间	离散时间
$y_{zi}(t)$ 由 $0^{-}$ 初始条件确定	$y_{zi}[n]$ 由 $n<0$ 的 $y[n]$ 确定
$y_{zs}(t)$ 需通过跳变法确定 $0^{+}$ 条件	$y_{zs}[n]$ 可通过迭代得到 $n\ge 0$ 的边界值
$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$	$y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$

链接到

• 上一个知识点：7.7 离散时间系统与差分方程
• 下一个知识点：无（本章最后一个知识点）
• 相关知识点：2.8 零输入零状态响应、4.6 用拉普拉斯变换分析电路