6.8 离散系统系统函数

离散系统系统函数

系统函数（System Function）$H(z)$ 是描述离散LTI系统输入-输出关系的重要概念。它包含了系统的全部特性：稳定性、因果性、频率响应等。

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系统函数的定义

定义方式一：z变换之比

对于离散LTI系统，系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比：

$$H(z)=\frac{Y_{zs}(z)}{X(z)}=\frac{\mathcal{Z}\{y_{zs}[n]\}}{\mathcal{Z}\{x[n]\}}$$

定义方式二：单位样值响应的z变换

系统函数也是单位样值响应 $h[n]$（Unit Impulse Response）的z变换：

$$H(z)=\mathcal{Z}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

核心关系：

$$y_{zs}[n]=x[n]\ast h[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\to }{Y}_{zs}(z)=X(z)H(z)$$

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系统函数的求法

方法一：由差分方程求 $H(z)$

给定N阶差分方程：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{m=0}^M{b}_{m}x[n-m]$$

两边取z变换（零初始条件）：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}Y(z)=\sum _{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}X(z)$$ $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{{\sum }_{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

方法二：由单位样值响应求 $H(z)$

若已知 $h[n]$，直接取z变换：

$$H(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

方法三：由系统框图求 $H(z)$

通过系统框图中的基本运算单元（加法器、乘法器、延迟单元 $z^{-1}$）推导：

• 延迟单元 $z^{-1}$ 对应 $H(z)=z^{-1}$
• 串联（级联）：$H(z)=H_1(z)H_2(z)$
• 并联：$H(z)=H_1(z)+H_2(z)$
• 反馈连接：$H(z)=\frac{H_f(z)}{1\mp H_f(z)H_b(z)}$

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零极点图与系统特性

零极点表示

将系统函数表示为因子形式：

$$H(z)=K\frac{{\prod }_{m=1}^M(z-z_m)}{{\prod }_{k=1}^N(z-p_k)}=K\frac{(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_M)}{(z-p_1)(z-p_2)\cdots (z-p_N)}$$

• $z_m$：零点（Zero），使 $H(z)=0$ 的 $z$ 值
• $p_k$：极点（Pole），使 $H(z)\to \infty$ 的 $z$ 值
• $K$：增益常数

零极点图的应用

零极点分布直观反映了系统的以下特性：

1. 稳定性：因果系统稳定的充要条件为所有极点位于单位圆内
2. 因果性：因果系统的ROC在最外极点之外（包括 $\infty$）
3. 频率响应：通过几何法可以从零极点图估计频率响应
4. 系统类型：低通、高通、带通、带阻等特性由零极点配置决定

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系统的分类

FIR系统（Finite Impulse Response）

$$H(z)=\sum _{n=0}^M{b}_n{z}^{-n}$$

• $h[n]$ 为有限长序列
• $H(z)$ 只有零点（极点全在 $z=0$）
• 系统始终稳定（极点在单位圆内）
• 可实现线性相位

典型应用：滑动平均滤波器、差分器

IIR系统（Infinite Impulse Response）

$$H(z)=\frac{{\sum }_{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}}{1+{\sum }_{k=1}^N{a}_k{z}^{-k}}$$

• $h[n]$ 为无限长序列
• $H(z)$ 既有零点也有极点
• 存在稳定性问题（极点必须在单位圆内）
• 相位通常为非线性

典型应用：巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器

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系统函数与稳定性

因果系统稳定性的判断

充要条件： 因果系统的所有极点都在单位圆内（$|p_k|<1,\forall k$）。

等价条件： 单位样值响应绝对可和：

$$\sum _{n=0}^{\infty }|h[n]|<\infty$$

几何意义： $H(z)$ 的ROC包含单位圆（$|z|=1$ 在ROC内）。

极点位置与暂态响应的关系

极点位置	暂态响应形式
正实轴 $p>0$	单调指数衰减/增长
负实轴 $p<0$	正负交替衰减/增长
共轭复极点 $p=r{e}^{\pm j\Omega }$	正弦衰减振荡（$r<1$）
单位圆上 $	p
单位圆外 $	p

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系统函数与频率响应的关系

系统函数与频率响应的关系为：

$$H(e^{j\Omega })=H(z){|}_{z=e^{j\Omega }}$$

即频率响应是系统函数在单位圆上的取值。这要求单位圆在ROC内（系统稳定）。

幅频响应： $|H(e^{j\Omega })|$ 相频响应： $\angle H(e^{j\Omega })$

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系统框图的实现

直接I型（Direct Form I）

用差分方程直接实现，先实现零点（前馈部分），再实现极点（反馈部分）。

直接II型（Direct Form II）

转置直接I型，先实现极点后实现零点，节省延迟单元。

级联型（Cascade Form）

将 $H(z)$ 分解为二阶子系统（Biquads）的乘积：

$$H(z)=\prod _{k=1}^K{H}_k(z)$$

并联型（Parallel Form）

将 $H(z)$ 分解为二阶子系统的和：

$$H(z)=\sum _{k=1}^K{H}_k(z)$$

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系统函数的应用

• 系统分析：由 $H(z)$ 的零极点判断稳定性、因果性和频率特性
• 系统设计：通过配置零极点实现所需的滤波特性
• 系统实现：由 $H(z)$ 推导差分方程并构建硬件/软件实现
• 系统仿真：在频域分析系统对特定输入信号的响应

链接到

• 上一个知识点：6.7 离散时间傅里叶变换DTFT
• 下一个知识点：6.9 离散系统频率响应
• 相关知识点：4.7 系统函数H(s)、5.4 系统函数的频域分析